| Главная | Регистрация | Вход | RSS | Воскресенье, 2012-05-20, 12:40 PM |
Готовое домашние задание | |
| Приветствую Вас Гость |
| 5 класс | 6 класс | 7 класс | 8 класс | 9 класс | 10 класс | 11 класс | |
Алгебра |  | | | | | | |
Геометрия | | | | | |||
Русский язык | | | | | | | |
Химия | | | | ||||
Физика | | | | | | ||
Немецкий язык | | | | ||||
Английский язык | | | | |
|
АЛГЕБРА ВЕКТОРОВАЛГЕБРА ВЕКТОРОВАРИФМЕТИКА НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ Направленные отрезки - векторы Выберем в пространстве некоторую точку Р и рассмотрим различные отрезки РА, РВ, PC,..., начало которых расположено в точке Р, а концы - в каких-либо точках А, В, С,.. пространства (рис. 1). Таким образом, на каждом из этих отрезков выделяется определенное направление, идущее от точки Р (общего начала всех рассматриваемых отрезков) к концу отрезка. По этой при- Рис. 2. Величину и направление силы можно изобразить вектором. чине они называются не просто отрезками, а направленным и отрезками, приложенными в заданной точке Р; чтобы подчеркнуть это обстоятельство их обозначают PА(, РВ(, PC(,..., т. е. над отрезком проставляют стрелку. Принято также называть каждый направленный отрезок коротким словом <вектор>. Интерес к векторам возник в науке уже очень давно. Еще в самом начале XVII в. голландский ученый С. Стевин использовал векторы для наглядного представления сил. Так как каждая сила, приложенная к некоторой точке Р твердого тела, имеет вполне определенное направление, то для геометрического изображения этой силы удобно воспользоваться лучом РР', имеющим то же. направление, что и сила; отложим на этом луче от точки Р направленный отрезок РА, длина которого (выраженная, скажем, в мм) равна числу, которое измеряет величину рассматриваемой силы (выраженную, скажем, в кГ). Таким образом, каждая сила, приложенная в точке твердого тела, изобразится своим вектором (рис. 2). Правила сложения векторов, приложенных в точке Р Чтобы прибавить к вектору РА( (первое слагаемое) вектор РВ( (второе слагаемое), поступим следующим образом (рис. 3): а) построим середину С отрезка АВ; б) построим точку Q, симметричную точке Р относительно точки С, т. е. так расположенную на луче PC, что точка С является серединой отрезка PQ. Полученный вектор PQ( будем называть суммой векторов РА( (первое слагаемое) и РВ( (второе слагаемое); будем это кратко записывать формулой: 397 Рис. 3. Сложение векторов по правилу середины: PQ(=PA(+РВ(. pa(+pb(=pq(. (1) Описанное правило сложения векторов назовем правилом середины. Если слагаемые векторы РА( и РВ( не лежат на одной прямой, то, как легко видеть из рис. 4, вектор PQ(, являющийся их суммой, Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма: PQ(=PA( +PB(. представляет собой диагональ параллелограмма, сторонами которого являются векторы РА( и РВ( (в самом деле, в четырехугольнике PAQB диагонали АВ и PQ делят друг друга пополам,- это непосредственно вытекает из правила середины). Таким образом, для сложения векторов РА и РВ, не лежащих на одной прямой, можно вместо правила середины воспользоваться следующим правилом: строим параллелограмм PAQB, сторонами которого являются векторы-слагаемые РА и РВ, т. е. из конца А первого слагаемого строим прямую, параллельную второму слагаемому, а из конца B второго слагаемого строим прямую, параллельную первому слагаемому. Точка Q пересечения построенных прямых и будет концом вектора PQ, являющегося суммой слагаемых РА и РВ. Для краткости говорят: сумма двух векторов есть вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах. Это правило сложения векторов называют правилом параллелограмма. Оно, однако, непригодно, когда слагаемые векторы лежат на одной прямой - такие векторы называются коллинеарными; в этом случае применяют правило середины. Рассмотрим, например, случай, когда вектор PC складывается с самим собой, т. е. когда разыскивается сумма PC + PC (рис. 4а). Прибегнем к правилу середины: а) середина отрезка СС, соединяющего концы слагаемых векторов, есть, очевидно, точка С; б) остается Рис. 4 о. Сумма двух равных векторов: PC(+PC(=2PC(=PQ(. построить точку Q, симметричную точке Р относительно точки С,- она будет концом отрезка PQ, серединой которого является точка С. Таким образом, вектор PC(+PC( направлен одинаково с вектором PC и имеет длину вдвое большую, чем длина вектора PC. Этот вектор - сумму двух одинаковых слагаемых - обозначают 2PC(. Итак: РС(+РС(=2РС(. (2) Полезно запомнить (это нам понадобится в дальнейшем), что если точка Q симметрична точке Р относительно точки С, то РQ(=2РС(. Эту формулу записывают также и в следующем виде: PC(=1/2PQ(. (3) Возвратимся теперь к случаю, когда складываются два произвольных коллинеарных вектора (сонаправленных или противонаправленных). Применяя правило середины, придем к следующим результатам: при сложении двух сонаправленных векторов1 РА( и РВ (рис. 4б) получается вектор PQ(, который имеет такое же направление, как и слагаемые векторы, а его длина равна сумме длин слага- 1 Т. е. таких, что точки Р, А, В так расположены на одной прямой, что точка Р лежит вне отрезка АВ. 398 |
| Copyright MyCorp © 2012 |
| Бесплатный конструктор сайтов - uCoz |
