| Главная | Регистрация | Вход | RSS | Воскресенье, 2012-05-20, 2:52 PM |
Готовое домашние задание | |
| Приветствую Вас Гость |
| 5 класс | 6 класс | 7 класс | 8 класс | 9 класс | 10 класс | 11 класс | |
Алгебра |  | | | | | | |
Геометрия | | | | | |||
Русский язык | | | | | | | |
Химия | | | | ||||
Физика | | | | | | ||
Немецкий язык | | | | ||||
Английский язык | | | | |
|
Квадратные уравненияКвадратные уравненияУравнения второй степени умели решать вавилоняне во втором тысячелетии до н. э., но их знания в этом вопросе не оказали влияния на развитие европейской науки, так же как и достижения других восточных народов, долго остававшиеся в Европе неизвестными. Древнегреческие математики периода до начала нашего летосчисления решали квадратные уравнения геометрическими построениями. Таково, например, приводимое в наших учебниках деление отрезка в крайнем и среднем отношении, данное Евклидом (III в. до н. э.). В более позднее время Герон и Диофант указали приемы, по существу совпадающие с нашими способами. В рукописях индийских и китайских математиков, написанных в первых веках новой эры, встречаются отрицательные корни квадратных уравнений. Однако индийский математик Бхаскара (XII в.) отмечал: <Люди отрицательных корней не одобряют>. Большие заслуги в развитии учения о квадратных уравнениях имеет уже упомянутый среднеазиатский математик ал- Хорезми. Он дает вывод правила решения квадратного уравнения, который излагается доныне во многих учебниках. Ал-Хорезми решает уравнение x2+10x=39 (задача 7 его сборника) следующим образом. Искомое х есть сторона квадрата, площадь которого х2. Построим на каждой стороне квадрата прямоугольники с шириной, равной четверти коэффициента второго члена уравнения, т. е.10/4=5/2. Площадь четырех прямоугольников равна 4(5/2)x=10x. Площадь образовавшейся крестообразной фигуры, обведенной на чертеже сплошными линиями, равна x2+10x, т. е. левой части данного уравнения (39). Дополним эту фигуру четырьмя квадратиками, площадь каждого из которых равна (5/2)2. Получаем квадрат, стороны которого равны х+2(5/2)=х+5. Площадь образовавшегося большого квадрата (х+5)2 Ее мы получили, добавив в крестовидной фигуре с площадью x2+10x=39 площади четырех квадратов со стороной 5/2, т. е. 4(5/2)2=25. Ал-Хорезми получает: (x+5)2=39+25=64, x+5=8, x=8-5, x=3. При буквенных обозначениях для коэффициентов уравнения x2+px=q и рассмотрении двух значений корня имеем: Так рассуждал ал-Хорезми при решении квадратного уравнения. 326 В Европе формулами для решения квадратных уравнений различных видов владел Леонардо Пизанский в начале XIII в.; владели ими, конечно, и позднейшие математики. Вывод формулы в общем случае имеется у Ф. Виета (XVI в.), но и он признавал только положительные корни. Итальянские математики XVI в. (Дж. Кардано, Н. Тарталья, Л. Феррари, Р. Бомбелли) присоединили к положительным корням не только отрицательные, но и мнимые. С этого времени способ решения квадратных уравнений достиг нынешнего вида. Уравнения степеней выше второй К уравнениям третьей степени пришли греческие математики (Гиппократ, Архимед и др.) при решении геометрических задач: удвоение куба - нахождение ребра куба, имеющего двойной объем данного куба; трисекция угла - деление произвольного угла на три равные части и др. Геометрическое решение этих задач столкнулось с невозможностью построить циркулем и линейкой отрезок, выражаемый кубическим корнем. Эти задачи решались геометрически при помощи кривых - гиперболы, параболы и др. Все возможные случаи решения кубического уравнения геометрическими методами рассмотрел среднеазиатский математик и знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI и XII вв. Алгебраическое решение кубического уравнения, т. е. открытие формулы, которая позволяет выразить корни всякого уравнения третьей степени через его коэффициенты, нашли в XVI в. итальянские математики С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Эта формула носит имя Кардано, хотя он не являлся основным действующим лицом в данном открытии и сам признавал это. Существенно важным при решении кубического уравнения в общем случае явилось выражение корней в тригонометрической форме. Алгебраическое решение уравнений четвертой степени в общем случае нашел Л. Феррари, ученик Кардано. Свой особый способ для этого дал Л. Эйлер в 1732 г. Очень многие крупнейшие математики предпринимали попытки решить алгебраические уравнения пятой степени в общем случае, т. е. пытались найти формулу, при помощи которой можно было бы вычислить корни любого уравнения пятой степени по его коэффициентам. Эти усилия не дали результата. Многие математики (Г. Лейбниц, Л. Эйлер, К. Гаусс) высказывали мысль, что для уравнений пятой и более высоких степеней в общем случае не существует алгебраической формулы для выражения корней через коэффициенты. Доказал это положение в 1824 г. норвежский математик Н. Абель. Формула Кардано для решения уравнения x3+рх+q=0. Однако многие частные виды таких уравнений могут быть решены алгебраически. Французский математик Э. Галуа указал в 1830-1832 гг. метод, при помощи которого по виду уравнения можно установить, решается оно алгебраически или нет. Голландский математик А. Жирар (1629) высказал предположение, что уравнение n-й степени имеет n корней, если считать корнями отрицательные и мнимые выражения (сам Жирар не считал их корнями уравнения). Смелее эту мысль выразил в середине XVII в. Р. Декарт, со всей же определенностью - И. Ньютон в конце XVII в. Л. Эйлер в 1742 г. заявил, что всякое алгебраическое выражение может быть разложено на множители с действительными коэффициентами первой или второй степени. Эта мысль в иных словах означает, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, одним словом - комплексным. 327 Так в разное время обозначали неизвестное в уравнениях. Строго это доказал двадцатидвухлетний К. Гаусс в 1799 г. Для вычисления приближенных значений корней уравнений высших степеней существует много приемов, которые часто применяются на практике и к уравнениям третьей и четвертой степеней, так как абсолютная точность корня на практике не всегда нужна, а применение формул сложно. Самаркандский математик ал-Каши (XV в.) дал удобную приближенную |
| Copyright MyCorp © 2012 |
| Бесплатный конструктор сайтов - uCoz |
